Методы визуализации

Одной из основных задач геометрии и топологии является исследование многообразий различных размерностей. Многообразие размерности - это топологическое пространство, которое локально устроено как область (открытое множество) -мерного пространства ${\fam0 R}^n$ . В 19-том веке многообразия представлялись обычно как поверхности в пространстве ${\fam0 R}^m$ более высокой размерности, определённые локально как образ гладкого ( $C^\infty$ ) невырожденного отображения из некоторого ${\fam0 R}^n$ . В 20-том веке преобладала «картографическая» точка зрения. Многообразие покрывается открытыми множествами, каждое из которых гомеоморфно (взаимно однозначно и непрерывно) отображено на открытое множество в ${\fam0 R}^n$ . Эти карты связаны $C^\infty$ -ными невырожденными отображениями перехода между открытыми подмножествами ${\fam0 R}^n$ . Совокупность этих карт называется $C^\infty$ -атласом многообразия, который вводит на многообразии так называемую гладкую структуру. Термин атлас заимствован из картографии. Объектом картографии является 2-сфера, поверхность Земли, которая локально выглядит как участок плоскости, но в целом не является плоскостью. Для правильного представления поверхности Земли, нужно или использовать глобус в ${\fam0 R}^3$ , или атлас 2-мерных карт, связанных гладким переходом с одной карты на другую.

Ясное понимание структуры многомерных многообразий является сложной задачей для человеческого воображения. Большую помощь здесь могут оказать методы компьютерной визуализации. В данной работе мы визуально представляем ленту Мёбиуса, бутылку Клейна и проективную плоскость. Эти многообразия особенно интересны, поскольку они являются наиболее простыми среди топологически нетривиальных объектов и в то же время могут быть использованы как элементарные блоки для построения более сложных объектов. Мы покажем их различные представления и продемонстрируем их основные топологические свойства.

Subsections