дальше наверх назад содержание

Использование метода граничных элементов

В специальном случае однородных изотропных объектов линейная теория упругости может быть сформулирована в виде поверхностных интегральных уравнений [62]:

$\displaystyle c_{ij}(x)u_{j}(x)+\int_{\Gamma}p^{*}_{ij}(x,y)u_{j}(y)dS(y)= \int_{\Gamma}u^{*}_{ij}(x,y)p_{j}(y)dS(y),~~$     (5.10)

где -- точки поверхности, $u(y)$ -- смещения точек поверхности, $p(y)$ -- поверхностная плотность силовых распределений, $dS(y)$ -- элемент площади поверхности. Ядра интегральных уравнений $u^{*}(x,y),p^{*}(x,y)$ являются фундаментальными решениями рассматриваемой задачи, т.е. функциями Грина однородной изотропной среды, и имеют вид:
    $\displaystyle u^{*}_{ij}(x,y)={1\over16\pi(1-\nu)\mu}\left({(3-4\nu)\delta_{ij}\over r} +{r_{i}r_{j}\over r^{3}}\right),$  
    $\displaystyle p^{*}_{ij}(x,y)={(1-2\nu)\over8\pi(1-\nu)}\left( {r_{i}n_{j}-r_{j... ...+{3r_{i}r_{j}\over (1-2\nu)r^{4}} \right){\partial r\over\partial n(y)}\right),$  

здесь $\nu=\lambda/(2(\lambda+\mu))$ -- коэффициент Пуассона, $\lambda,\mu$ -- коэффициенты Ламе, $\vec r=\vec y-\vec x, r=\vert\vec r\vert, {\partial r/\partial n(y)}=(\vec r \vec n(\vec y))/r$, $\vec n(\vec y)$ -- внешняя нормаль к поверхности в точке $\vec y$.

Замечания: поверхностная плотность силовых распределений выражается через тензор напряжений и нормаль к поверхности как $p_{i}=\sigma_{ij}n_{j}$. В уравнение () не включены силы, распределённые по объёму тела, такие как сила тяжести (рассматривается случай, когда силы внутренних напряжений значительно превышают силу тяжести). Однородное поле тяжести может быть включено в рассмотрение при некотором усложнении формулировки [62]. Функция $c(x)$ в принципе может быть включена в ядро $p^{*}_{ij}(x,y)$ как сингулярная, пропорциональная $\delta(x-y)$ добавка. Точное значение этой функции может быть найдено из соображений симметрии уравнений при трансляциях: рассматривая переносы $u(x)\to u(x)+Const$ при неизменной $p(x)$, получаем $c_{ij}(x)=-\int_{\Gamma}p^{*}_{ij}(x,y)dS(y)$.

Метод граничных элементов использует дискретный аналог интегрального уравнения (), построенный на основе заданной триангуляции поверхности. Для этого в () $x$ устанавливаются в центры масс треугольников и производится $\int dS(y)$-интегрирование по треугольникам. Значения $u,p$ при этом считаются постоянными на треугольниках и также приписываются к центрам масс. В результате получается замкнутая система вида $Au=Bp$, содержащая $3N$ линейных уравнений на $3N$ неизвестных $u$ при $3N$ заданных параметрах $p$, где $N$ -- число треугольников.

Замечание. Подинтегральные выражения в () обладают сильными сингулярностями при $x=y$. Для вычисления этих интегралов вводились три зоны интегрирования:

1. принадлежат одному треугольнику. Данные интегралы, дающие вклад в диагональные элементы матриц линейной системы, вычислялись аналитически с помощью явных формул, приведённых в [62]. При этом вычисление требуется только для диагональных элементов матрицы $B$, в то время как диагональные элементы матрицы $A$ находятся из соображений симметрии системы при трансляциях: для $\delta u=Const,\delta p=0$ получаем $A_{ii}=-\sum_{j\neq i}A_{ij}$.

2. В случае, если лежат в разных, но близких треугольниках, интегралы по каждому треугольнику находились численно, с помощью конечных сумм вида $\int dS(y)F(y)= \sum_{i} \Delta S_{i}F_{i}$.

3. Для далёких треугольников использовалось значение подинтегральных выражений в центре масс треугольника $\int dS(y)F(y)$ $=S_{tri}F(y_{c})$.

Как и ранее, при использовании метода конечных элементов, решение системы представляется в виде $u=Cp$, где матрица $C=A^{-1}B$ вычисляется заранее. Для того, чтобы это сделать, необходимо учесть граничные условия.

Subsections